Równania na egzaminie ósmoklasisty — gdzie uczniowie gubią punkty

Dwie umiejętności, które wyglądają jak jedna

Rozwiązanie równania to procedura. Przenieś, uporządkuj, podziel. Da się tego nauczyć w kilka lekcji i większość uczniów opanowuje to przyzwoicie.

Ułożenie równania z treści to tłumaczenie. Trzeba zamienić zdanie po polsku na zapis matematyczny — i to jest etap, na którym zadanie przepada, zanim ktokolwiek cokolwiek policzy.

Na egzaminie zadania otwarte odpowiadają za mniej więcej połowę punktów z matematyki, a znaczna ich część zaczyna się właśnie od ułożenia równania. Dlatego warto wiedzieć, która z tych dwóch rzeczy nie działa.

Krok, który rozstrzyga o całym zadaniu: kto jest x

To jest jedyna decyzja w tym zadaniu, której nie da się cofnąć bez przepisywania wszystkiego od nowa.

Reguła: pod x podstawiaj najmniejszą wielkość

Weźmy zadanie z prawdziwego arkusza: Andrzej ma o 28 plakatów więcej niż Basia. Marek ma trzy razy mniej plakatów niż Basia. Andrzej i Marek razem mają dwa razy więcej plakatów niż Basia.

Jeśli uczeń przyjmie, że x to Basia, Marek wychodzi jako jedna trzecia x i cały rachunek idzie na ułamkach. Da się, ale po co.

Jeśli przyjmie, że x to Marek — czyli ten, kto ma najmniej — Basia jest 3x, a Andrzej 3x + 28. Same liczby całkowite.

Nazwij niewiadomą słowami, zanim nazwiesz ją literą

Nie samo „x”, tylko „x to liczba plakatów Marka”.

To wygląda na formalność, a ratuje zadanie. Uczniowie, którzy piszą samo x, po trzech linijkach nie pamiętają, co ono oznaczało — i mylą się przy interpretacji wyniku, mimo poprawnego rachunku.

Rachunek na przykładzie

Marek ma x, Basia 3x, Andrzej 3x + 28. Z treści: Andrzej i Marek razem mają dwa razy tyle co Basia, czyli 6x.

Marek ma 14, Basia 42, Andrzej 70. Sprawdzenie: 70 + 14 = 84, a 42 · 2 = 84. Zgadza się.

I ostatnia pułapka, najbardziej bolesna

Wyszło x = 14. Pytanie brzmiało: ilu plakatów ma każde z nich.

Uczeń zapisuje w odpowiedzi 14, bo to jest liczba, którą właśnie obliczył. Rachunek był bezbłędny, a punkt przepadł na tym, o co pytali.

Nawyk do wyrobienia: po rozwiązaniu wróć wzrokiem do ostatniego zdania treści i przeczytaj je jeszcze raz. Pięć sekund.

Cztery błędy w samym rozwiązywaniu

Tu mówimy już o procedurze, nie o tłumaczeniu z treści.

1. Znak przy przenoszeniu. Wyraz przeniesiony na drugą stronę zmienia znak. To najczęstszy pojedynczy błąd w całym dziale i prawie zawsze wynika z luki w działaniach na liczbach ujemnych, a nie z niezrozumienia równań.
2. Nawias przed minusem. 5 − (2x − 3) to 5 − 2x + 3, a nie 5 − 2x − 3. Opuszczanie nawiasu po minusie zmienia znaki wszystkich wyrazów w środku.
3. Dzielenie tylko jednej strony. Uczeń dzieli przez 2 lewą stronę i zapomina o prawej. Wyłapuje to sprawdzenie, którego zwykle nikt nie robi.
4. Mnożenie przez mianownik przy ułamkach. Przy równaniu z ułamkami trzeba pomnożyć każdy wyraz obu stron, także ten bez ułamka.

Przekształcanie wzorów — ten sam mechanizm

Zadania typu „wyznacz a ze wzoru L = 2a + 2b + c” są na egzaminie częste i uczniowie traktują je jako osobny temat. Nie są.

To jest dokładnie to samo co rozwiązywanie równania, tylko zamiast liczb mamy litery:

• L = 2a + 2b + c
• L − 2b − c = 2a
• a = (L − 2b − c) : 2

Uczeń, który to widzi, ma jeden temat zamiast dwóch. Warto mu to powiedzieć wprost, bo samo nazwanie tego „przekształcaniem wzorów” sugeruje nową umiejętność, której trzeba się uczyć od zera.

Słowa z treści, które warto umieć tłumaczyć

Dwa ostatnie wiersze odpowiadają za nieproporcjonalnie dużo błędów. „Pozostałej” znaczy, że najpierw trzeba coś odjąć — a uczeń, który tego nie zauważy, dostanie liczbę, która wygląda sensownie i jest błędna.

Jak ćwiczyć w domu

To ćwiczenie nie wymaga, żeby rodzic pamiętał matematykę, i robi dokładnie to, czego brakuje.

1. Weźcie pięć zadań tekstowych z arkusza CKE.
2. Poproście dziecko, żeby nie rozwiązywało — tylko przy każdym zapisało jedno zdanie: „x to...” oraz samo równanie.
3. Na tym koniec. Nie liczymy niczego.

Piętnaście minut. Jeśli dziecko układa równania poprawnie, problem jest w rachunkach i ćwiczy się go zupełnie inaczej. Jeśli się gubi już tutaj, wiadomo, nad czym pracować — i nie ma sensu robić kolejnych stu zadań obliczeniowych.

To rozdzielenie jest w ogóle najużyteczniejszą rzeczą przy tym dziale, bo z oceny ze sprawdzianu nie widać, który z dwóch etapów nie zadziałał.

Ile to zajmuje

Przy uczniu, który zna działania na liczbach ujemnych, cały dział równań na poziomie egzaminu to zwykle pięć do ośmiu spotkań, z czego połowa idzie na zadania z treścią, a nie na rachunki.

Przy uczniu, który myli znaki, trzeba zacząć od liczb ujemnych — i to jest zwykle dwie, trzy lekcje, po których reszta idzie znacznie szybciej.

Najczęstsze pytania

Dlaczego dziecko umie rozwiązywać równania, a nie umie zadań tekstowych?

Bo to są dwie różne umiejętności. Rozwiązanie równania to procedura, którą da się opanować w kilka lekcji. Ułożenie równania z treści to tłumaczenie zdania po polsku na zapis matematyczny i tego szkoła ćwiczy znacznie mniej.

Co podstawić pod x w zadaniu tekstowym?

Najmniejszą z opisywanych wielkości. Wtedy pozostałe wyrażają się przez liczby całkowite zamiast ułamków. Warto też nazwać niewiadomą słowami: nie samo „x”, tylko „x to liczba plakatów Marka”.

Jaki jest najczęstszy błąd przy rozwiązywaniu równań?

Znak przy przenoszeniu wyrazu na drugą stronę. Prawie zawsze wynika z luki w działaniach na liczbach ujemnych, a nie z niezrozumienia samych równań — i dlatego poprawianie równań bez naprawienia znaków nic nie daje.

Czy przekształcanie wzorów to osobny temat?

Nie. To dokładnie ten sam mechanizm co rozwiązywanie równania, tylko zamiast liczb występują litery. Uczeń, który to zauważy, ma jeden temat do opanowania zamiast dwóch.

Jak sprawdzić w domu, na czym dziecko się zatrzymuje?

Dać pięć zadań tekstowych i poprosić, żeby ich nie rozwiązywało, tylko zapisało, co oznacza x i jak wygląda równanie. Piętnaście minut i wiadomo, czy problem jest w układaniu, czy w liczeniu.